進階設定:自訂 IQ / T 量表常數
快速對照表
點擊任何一行,自動帶入上方計算機。
| Z 分數 | 百分位數 | IQ 離差智商 | T 分數 |
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常用信賴水準臨界值
| 用途 | Z 臨界值 | 對應百分位 |
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- IQ 測驗報告解讀
- 學術能力測驗常模分數
- 心理評估量表(如 MMPI 用 T 分數)
- 公開考試等第參照
- 學生功課對答案
- 日本大學入試「偏差值」同韓國修能「표준점수」本質上都係呢頁嘅 Z/T 分數換算(可用「對答案模式」輸入當年公布的平均數同標準差計算)
這四個數字究竟是什麼
Z 分數、百分位數、離差智商與 T 分數,其實是同一件事的四種講法:一個數值在常態分佈中相對於其他人的位置。它們只是印在不同的刻度上,所以互相換算是算術,不是估算。
- Z 分數 —— 數值距離平均數多少個標準差。平均數 0,標準差 1。這是底層的量,其餘三個都是它的重新縮放。
- 百分位數 —— 分佈中低於該數值的百分比。與其餘三個不同,它與 Z 分數並非線性關係:第 50 至第 60 百分位之間的 Z 差距,遠小於第 88 至第 98 百分位之間的差距。
- 離差智商 —— 平均數 100,標準差 15。魏氏智力量表與史丹福-比奈量表採用此刻度。
- T 分數 —— 平均數 50,標準差 10。廣泛用於 MMPI 等心理測驗工具,亦與日本升學使用的偏差值完全相同。
計算實例
某學生在一次測驗取得 85 分,全班平均分 75,標準差 8。
Z 分數為 (85 − 75) ÷ 8 = 1.25。代入常態 CDF 得 Φ(1.25) = 0.8944,即該學生位於第 89.4 百分位,勝過約 89% 的同學。換成智商刻度是 100 + 15 × 1.25 = 118.75,換成 T 分數是 50 + 10 × 1.25 = 62.5。
把上方計算工具切換到「對答案模式」,即可逐行看到這些代入過程。
誠實地解讀結果
最常見的誤讀,是把百分位數的差距當成等距。由第 50 到第 55 百分位,Z 只變動約 0.13;由第 94 到第 99 百分位,Z 變動約 0.78 —— 同樣是五個百分點,差距卻是六倍。愈接近兩端,原始分數的微小變化就愈會造成排名的大幅變動;愈接近中間則相反。
第二個誤讀,是忘記了以上一切都假設數據呈常態分佈。如果底層分數高度偏斜 —— 反應時間、收入、大部分計數資料都是 —— 那麼 Z 分數作為「距離平均數多少個標準差」的陳述依然完全成立,但由它推導出來的百分位數就會出錯,有時錯得相當離譜。在相信任何百分位換算之前,先用直方圖看清楚數據形狀。
常見錯誤
- 該用母體標準差時用了樣本標準差。如果你是在描述手上這批樣本,除以 n;如果是在推估它所來自的母體,除以 n − 1。樣本大時差別微不足道,但 n 低於約 30 時就並非如此。
- 以為智商的標準差一定是 15。卡特爾量表用 24,部分較舊的測驗用 16。同樣一個「132」在各個刻度上意義相當不同。上方的進階設定容許你自行指定平均數與標準差。
- 把百分位數與答對百分比混淆。在一次全班都考 95 分的測驗中考到 90%,你的位置接近第 1 百分位,不是第 90 百分位。
- 把百分位數拿來平均。百分位數是排名而非數量,平均它們沒有意義。應先換算成 Z 分數,平均之後再換算回去。
本站採用的方法
常態 CDF 採用 Abramowitz–Stegun 7.1.26 的誤差函數有理近似式,精度約為 1.5 × 10⁻⁷,遠高於畫面顯示的兩位小數。反方向(百分位數回推 Z)採用 Acklam 演算法,在整個範圍內相對誤差約為 1.15 × 10⁻⁹。兩者的誤差都不會影響所顯示的精度。
百分位數輸入被限制在 0.01 至 99.99 之間,因為常態分佈的兩端是無限延伸的:恰好 0 或 100 的百分位數並不存在有限的 Z 分數。
這些刻度用在什麼地方
離差智商與 T 分數在臨床及教育心理學中佔主導地位。日本的大學入學制度以偏差值運作,而偏差值就是 T 分數的另一個名稱;韓國修能的標準分數則採用同樣的構造,只是平均數為 100、標準差為 20。如果你正在處理這兩者,本頁的換算就是它們底下的數學。
參考資料
- Abramowitz, M. & Stegun, I. A. (1964). Handbook of Mathematical Functions, 公式 7.1.26。
- Acklam, P. J. (2003). An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function.
- Wechsler, D. (2008). Wechsler Adult Intelligence Scale — Fourth Edition. Pearson.(平均數 100 / 標準差 15 慣例的出處。)